Математик решил уравнение, считавшееся нерешаемым почти два столетия

Российский математик Иван Ремизов решил задачу из теории дифференциальных уравнений, которая более 190 лет считалась нерешаемой аналитическим способом. Речь идёт о дифференциальных уравнениях второго порядка с переменными коэффициентами — одном из базовых инструментов современной науки. О результатах работы сообщается на сайте НИУ ВШЭ.
В 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что такие уравнения нельзя решить через их коэффициенты с помощью стандартных операций — сложения, вычитания, умножения, деления, а также элементарных функций, таких как корни, логарифмы, синус, косинус, и интегралы. Ремизов предложил расширить этот набор, добавив «операцию нахождения предела последовательности». Используя теорию аппроксимаций, он представил сложный процесс как бесконечную цепочку простых шагов. Применение преобразования Лапласа позволило собрать их в точное итоговое решение.
«Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть ее сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет восстановить облик, быстро прокручивая «киноленту» ее создания», — пояснил автор работы.
Отмечается, что такие уравнения применяются при изучении специальных функций Матье и Хилла, которые используются для анализа движения спутников и частиц в ускорителях. Работа также связывает методы классической математики и квантовой механики через подход, близкий к интегралам Ричарда Фейнмана.
Ремизов работает в Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» в Нижнем Новгороде и в Институте проблем передачи информации имени А. А. Харкевича РАН.